А.Г. Мякишев в книге «Знакомство с теорией вероятности» Москва 2008год, привел пример о справедливом разделе приза для игроков, где мнения рассуждающих за выводами не совпали.
Условие примера.
Два игрока играют в игру, в которой их шансы выиграть равновозможные.
При счете партий 5:3 в пользу одного из игроков игра прервалась.

Как следует разделить приз, если, если учитывать, что:
• игра должна продолжаться до шести побед;
• учитываются только результативные исходы поединка?

Историки математики установили, что эта задача упоминается в книге Пачоли (1445-1509гг., некоторые из них иллюстрировал его друг Да-Винчи) “Сумма знаний по арифмети-ке, геометрии, отношениям и пропорциональности” (1494г.). Есть данные, что в Италию задача попала из арабских стран. Словом, к 1654г., когда она была решена практически одновременно Паскалем и Ферма, ей насчитывалось почтенное количество лет и множество безуспешных попыток справиться с нею – никто до Паскаля не замечал, что задача носит вероятностный характер. Так, гениальный выходец из народа Тарталья (1449-1557гг.), открывший за одну ночь формулу корней кубического уравнения, пришел к ответу 2:1. Должно быть, он рассуждал следующим образом: первый игрок выиграл на две партии больше, а два – третья часть от шести, поэтому он и должен получить треть приза, а оставшуюся сумму нужно поделить пополам.

Ферма и Паскаль шли разным путем, но результаты совпали; отсюда – ставшая крыла-той фраза из письма Паскалю Ферма: «Как я вижу, истина одна и в Тулузе и в Париже».

Справедливым будет раздел, пропорциональный шансам игроков выиграть поединок. Первому осталось выиграть одну партию, второму – три. Идея Ферма состояла в том, чтобы продолжить прерванный матч тремя виртуальными партиями, позволяющими, с некоторой вероятностью, и первому и второму игроку закончить турнир выигрышем. Предложенный вариант в разделения приза в соотношении 7:1 не совсем отвечает условиям задачи.
Учитываются только результативные исходы из вероятностных, которые приведут к выигрышу турнира любым из игроков, то есть, выигрыш одной партии первым или трех подряд вторым игроком.

И все же, как следует разделить приз исходя из условия задачи?

При решении учитываем только результативные партии, влияющие на поединок, то есть, выигрыш в турнире (по условию задачи). При доигрывании трех виртуальных партий имеем 8 равновероятностных исходов. Результативному исходу выигрыша турнира первым игроком благоприятствует 3 случая, а результативному исходу выигрыша вторым игроком благоприятствует 1 случай (выигрыш 3-х партий подряд).

Номера партий Номера игроков Примечание
1-й 2-й 1-й 2-й 1-й 2-й 1-й 2-й Имеем 8 равновероятных исходов.
Исходов влияющих на результат выигрыша турнира – 4 (по одному исходу в каждой из 3-х партий для 1-го
игрока, и один исход выигрыш во всех трех партиях 2-м игроком).
1 партия 1 0 0 1 0 1 0 1
2 партия 1 0 0 1 0 1
3 партия 1 0 0 1

Для первого игрока каждый выигрыш в одной из партий будет результативным, для второго результативным будет выигрыш только во всех трех партиях. Имеем четыре результативных исхода влияющих на поединок. Вероятность выигрыша игроками в одной двух или трех партиях в серии из 3-х имеет биноминальное распределение, см. табл. ниже.

m – количество выигранных виртуальных партий; 0 1 2 3 ∑
n – общее количество виртуальных партий;
Вероятность выигрыша в каждом исходе p= 0,25;
Вероятность проигрыша в каждом исходе q= 0,75
Количество благоприятных исходов С_n^m=n!/m!(n-m)!; 1 3 3 1 8
Выигрыш / проигрыш в единичном исходе p^m×q^(n-m); 0,422 0,141 0,047 0,016
Вероятность 〖P(i)= С〗_n^m×p^m×q^(n-m) выигрыша; 0,422 0,422 0,141 0,016 1,00

Имеем количество виртуальных результативных партий и их вероятности:
для первого игрока – 1 партия с вероятностью 0,422;
для второго игрока – 3 партии с вероятностью 0,016, смотри табл. выше.

Математическое ожидание результативных виртуальных партий игроками с учетом их вероятности составит для первого 1*0,422=0,42, и для второго 3*0,016=0,05.
Принимаем во внимание, что часть приза должна быть распределена с учетом уже сыгранных и зафиксированных счетом 5:3 партий. Тогда общий счет партий в поединке с их вероятностным исходом виртуальных партий составит 5,42 в соотношении к 3,05, и это будет справедливо в разделе приза игроков.

Отсюда следует, что приз прерванного турнира необходимо разделить в соотношении 1,78:1, что больше уже зафиксированного результата (5/3=1,67) и не противоречит логике, поскольку будь мы уверены в том, что в процессе доигрывания выигрыш первым игроком достоверное событие, раздел бы произошел в соотношении 2:1 (6:3).

Размещена 09.04.2015 | Просмотров: 1860 | Источник: http://chytayka.at.ua/publ/forex/zadacha_o_spravedlivom_razdele_stavki/4-1-0-3084